Локализация  области   поиска сомножителей произведения простых чисел                                                                                                                                                                         

 Предлагаю рассмотреть некоторые результаты и задачи, возникающие если принять, что выражение:                            

содержит в себе все простые числа и их произведения. Отсутствие чисел 2: 3 требует осмысления.  Будем считать х -  истинным корнем простого или произведения простых. Причём знак от единицы переходит на корень х.                                                                                                                                                                  
Нахождение корня  сводится к делению исследуемого числа на 6 , если дробная часть составляет - ... ,8333 то целая часть округляется в большую сторону  и корень  со знаком  -х, если  -  ..., 1666 то   х.
Произведение простых  в корнях будет выглядеть следующим образом :                       

(1)

 
Это генератор произведений простых, достаточно ввести любые числа, как положительные так и отрицательные в любых комбинациях.                                                                                 
 Определим часть уравнения
                                                                                          как базу произведения, а 
                                                                                       как дополнение.
Исходя из структуры уравнения будем иметь четыре типа чисел: (+ +), (- -), (+ -), (- +). В случае равенства модулей разнозначных сомножителей уравнение принимает вид:   6х²±2х. Это интересные точки на многоветвевом графике произведений простых, но об этом в другой раз. Не трудно заметить, что корень отличается от базы на величину дополнения, в большую или меньшую сторону.
 Что бы привести истинный корень произведения к выражению (1) разделим его на 6 и получим некую базу и дополнение равное 0÷5(mod 6).
Например: 

Рассмотрим число 3787975; истинный корень 3787975/6=631329,166=631329; разделим на 6 и получаем  6*105221+3=631329, определив выше, что истинный корень (обозначить что ли его как), а пусть будет @, не равен базе то имеем два уравнения:

                                 6*(105221+d)+(-6d+3)=631329                                           (2)   
                                             6*(105221-d)+ (6d+3) =631329                                            (3)
Теперь вернёмся к (1),оно наглядней,- база и корень явно демонстрируют, что они из теоремы Виета, соответственно и в (2) и (3). А в школе как то говорили, что квадратное уравнение имеет корни если дискриминант больше 0. Проверим (2)
(-6d+3)²-4( 105221+d)       - 6-ка не вписалась в вычисления. Почему ? Не знаю.
Ну так имеем: 36d ²-40d-420875       D= 60607600  d¹=-107,6    d²=108,7
Следовательно, что бы уравнение с характеристиками (2) имело решение то необходимо          
 
-107,6>d>108,7

Но нас интересуют дискретные положительные  величины, значит все числа больше 108 будут удовлетворять уравнению (2). Одним словом, мы определили нижнюю границу базы.

    ху                  -6d+3                       d¹                 d²

105330             -651                      -350,4          -300,5
105331             -657                      -379,3          -277,6
105332             -663                      -399,02        -263,9
105333             -669                      -415,4          -253,5
105334             -675                     -430,08         -244,9
105335             -681                      -443,4          -237,5
105336             -687                      -456              -231

Проверим: -456*-231,  база        456*231*6= 6* 105336=   632016
                                       дополнение          (-*-)(-456-231)=      -687
                                                                                                  631329      
N=  631329*6+1=3787975

Проанализировав несколько произвольно выбранных произведений, получил следующую таблицу результатов:

Не знаю, как там дело с взламыванием апартеида в Республике Южная Африка,( не нашёл открытой информации), но меня эти цифры осторожно вдохновляют. Здесь рассмотрены числа вида (- -). Корни сомножителей отрицательные. Необходимо проверить (-+) и (+-),
(++). 
Создать базу статистики отношений по величине каждого дополнения 0;1;2;3;4;5, кажется будет информация для дальнейшей локализации.
 Но это грубоватая работа, давайте глянем на (2) и (3), явные характеристики гиперболы и эллипса. Вот над этим и нужно поработать!

Сергей Богомолов  
Волгоград