Title: И
Author: User
Last saved by: gars0829
Company: Home use

И.А.Немлихер, Е.А.Немлихер, Г.И.Никулин 

                                     

                                МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ 
                                         
                                           НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛОВОГО   РЯДА        

                                    И   ЕЕ          ПРАКТИЧЕСКОЕ  ПРИМЕНЕНИЕ.

                                                                г. Донецк

                                        

                                               Посвящается моему отцу
                                               Немлихеру Ананию  Моисеевичу,    привившему мне 
                                                                      любовь к математике, и не только к математике.

                                                                                        И. Немлихер (На правах зачинщика )

                    

                                         ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЛА , 
                                     (ПОИСК СОМНОЖИТЕЛЕЙ).
                            (Альтернативный метод решения квадратных уравнений
                                               вида:     х^2 + (А + а k)х + В+вk =0; 
                                                     как уравнений первой степени.)
                                                Методика определения простого числа.

                                                             

                                                                               АННОТАЦИЯ

 На основании использования вспомогательных числовых рядов по  mod 6  и по  mod 4 из натурального ряда чисел вычленены составные числа и разбиты на 16 групп (вариантов).
Путем  сопоставления параллельных расчетов, получена возможность определять: относится или нет рассматриваемое число к предполагаемой группе составных чисел  (предполагаемому варианту).
При анализе числа для определения, простое оно или нет  максимальное количество  расчетов рассматриваемое число  равно 4-м.
Для каждой группы чисел составлены алгоритмы расчета, формализующие анализ чисел.
Для нахождения сомножителей рассматриваемого числа, разработан альтернативный способ решения квадратного уравнения с двумя неизвестными.
Альтернативный способ решения квадратного уравнения заключается в том, что, в отличии от традиционного способа, где решение ищется  посредством подбора Дискриминанта, в предлагаемом способе решение ищется  путем построения 2 – х числовых рядов: ряда точных квадратов и ряда возможных Дискриминантов; сопоставления этих числовых рядов; и поиска их пересечения общим,единым для обоих рядов значением.
Такой подход позволяет использовать в расчетах начальные, незначительные по величине значения этих числовых рядов.
По каждому из вариантов расчета составлена программа,  использующая возможности таблиц Эксель фирмы Mikrosoft.

                                                                              

                    

                                             

        

                                                                ВВЕДЕНИЕ

Проблема действительного разложения данного числа на простые множители одна из труднейших задач математики. [ 1 ] 
В  третьем столетии до н.э. Эрастофен предложил метод нахождения всех простых чисел меньших данного предела А. После некоторого усовершенствования в начале 20 века Бруном, этот способ до сих пор является единственным способом решения данной задачи без использования вычислительных устройств. Другие попытки найти законы распределения простых чисел  не  дали значительных результатов.
Предлагаемая работа является  изложением решения этой задачи, на  основании законов распределения составных чисел.
Работа заключается в поиске признаков отличия простых чисел от непростых, и использовании этих признаков для определения: простое рассматриваемое число или нет.
Решение этой задачи сведено нами к решению квадратного уравнения с 2 – мя неизвестными. Обычно такие уравнения решаются путем подбора одного из неизвестных, в нашем случае k, но этот способ, несмотря на то, что шаг просчета нами увеличен до 24 – х, достаточно трудоемок для больших чисел. Предлагаемый нами метод позволяет решать квадратные уравнения с двумя неизвестными альтернативно, не методом подбора k, а методом сопоставления числового ряда возможных Дискриминантов и числового ряда точных квадратов - на определение в этих числовых рядах общего значения, что позволяет ограничить объем расчетов, то - есть разработанная методика позволяет решать квадратные уравнения с двумя неизвестными, составляемые для нахождения сомножителей, образующих рассматриваемое число, аналогично уравнениям первой степени, что можно считать альтернативным способом решения квадратных уравнений.
 независимо от величины (длины) рассматриваемого числа.
     Недостаток метода: 
Затруднительность и трудоемкость  без использования програмного обеспечения и П К.
Достоинство метода:
Возможность использования П К и программного обеспечения, независимо от количества знаков в рассматриваемом числе.
В предлагаемой работе создана, по нашему мнению, хорошая лабораторная база, пригодная для решения различных задач из области теории чисел, например, выражения  куба целого числа, как суммы слагаемых первой и второй степеней.
Нам известно, что при перемножении чисел со значительным количеством разрядов посредством  группы ПК, могут пропадать разряды. Разработанная методика не требует использования группы ПК, так как для вычислений используются числа с незначительным количеством разрядов. Единственное продолжительное вычисление,  в котором остается необходимость – это  деление числа.. 
Авторы считают, что деление больших чисел не преграда для использования  ПК, так как число может вводится постепенно.  Если деление многоразрядных чисел не является технической проблемой, поиски простых чисел. благодаря разработанной методике, могут быть доступны широкому кругу читателей.
На основании разработанной методики может быть, уже в настоящий момент, создан програмный продукт, включающий 16 расчетных вариантов.
Максимальное количество расчетных вариантов, используемых для анализа любого числа - 4 – ре, на основании чего определяется, простое ли  рассматриваемое число, или находятся его сомножители .
В качестве усовершенствования, в настоящее время осуществляется объединение всех расчетных вариантов в одно целое, что позволит осуществлять анализ любого числа на основании единственного ввода его в ПК.
Также, в перспективе, предполагается разработка таблиц делимости, удобных для пользователя, не имеющего ПК. 

ГЛАВА  I.  ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ, СОСТАВЛЕННЫЕ НА 
                    ОСНОВАНИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ  МОДУЛЕЙ 6 И 4.
.
 ЧАСТЬ 1
.СОСТАВЛЕНИЕ    И    ФОРМАЛИЗАЦИЯ    ЧИСЛОВОГО    РЯДА( по mod 6 ),
                      ВКЛЮЧАЮЩЕГО       ВСЕ     НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА,   ДЕЛИМОСТЬ
                         КОТОРЫХ  ТРУДНОРАСПОЗНАВАЕМА.

 § 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Основная  задача    предлагаемой   работы  сводится    к   тому,  чтобы      определить,   простое  ли   данное   число   L ,  или  оно  является   произведением   хотя  бы  2-х  простых   сомножителей,  не  равных  1 .       В  дальнейшем  под  словом  « число »  всегда  понимаем  целое,  неотрицательное  число, если  не оговорено противное.
   На первом  этапе мы применили метод    сравнения по модулю.^*
  
   Любое число  L   может  быть представлено в форме:
                                     L  =  m N  +  r      ,
  где:   m  - заданный модуль; 
          N  -   мы назвали номером числа;
          r   -  остаток (может быть положительным, отрицательным  и  
                 равным  0),
             r  находится  в пределах  от - ( m – 1)  до  (  m  - 1) ( При    m = 6  от  - 5 до + 5 ) .
  Мы   выбираем   m = 6.   Это   дает  нам  возможность  исключить  из    бесконечного    ряда чисел,  подлежащих  нашему анализу,   числа, в которых   присутствуют сомножители  2, 3  и  6 , так как  наличие этих сомножителей  в   числе  легко   распознаваемо. Все числа, подлежащие анализу, нами именуются  труднораспознавемыми.   
     Относительно  модуля  6  все натуральные  числа  распределяются   на  6   классов,   в   зависимости  от остатка:
1)	r = 0  .   L = 6  N  ( то-есть все числа этого  класса  и составляют  
      самый    модуль   M )     
    2)  r = 1      ;    L =   6 N  +  1,  что равнозначно   r = -5 ;    L =  6 N  - 5  .
    3)  r = 2;          L  =  6 N  +  2 , что равнозначно   r = -4;    L =  6 N – 4.
    4)  r = 3;          L  =  6 N +  3,  что равнозначно    r = -3;    L =  6 N – 3.
    5)  r = 4;          L =   6 N +  4,  что равнозначно    r = -2;    L =  6N – 2.
    6 ) r = 5;          L =  6 N +  5,   что равнозначно    r = -1;    L =  6N – 1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Модулем  М  называется система  всех чисел, кратных данному числу  m.
   Число    m  - наименьшее число данного модуля   М.
   Если числа  a  и  b  при делении  на  m  дают одинаковые  остатки,  они называются  сравнимыми по модулю  m. Это записывается так:
                                          a   Ξ    b    .( mod  m  )
   Такое соотношение между  a  и  b  называется  сравнением по модулю  m.
   Всякое число сравнимо по модулю  m  со своим остатком  от деления этого числа на    m.  Например:  если  a  при делении  на  m дает остаток 1,  значит:
                                         
                                          a   Ξ  1 ;  ( mod   m )   

 если  к  a  необходимо  прибавить   1,   чтобы   сумма  делилась  на  m,  то

                                          a  Ξ  -1;   ( mod  m )                                            

   В этом случае  –1  называем  “отрицательным  остатком” .    
  Для нас представляют интерес  числа двух классов:                      
                                     L_(+1) = 6N + 1; L_(+1) Ξ  1  ( mod   6)                         [ 1 ],
мы назвали их числами  ветви  (+1);  и 
                                    L_(-1) = 6N – 1; L_(-1) Ξ  -1  ( mod   6)                         [ 2] ,    .
мы назвали их числами ветви ( - 1).
       Эти  числа  нечетные,  не  делятся  ни  на  3 , ни  на  6;  то-есть  это 
труднораспознаваемые  числа.
     Числовой ряд, объединяющий    числа   ветви ( +1):    L_(+1) Ξ   1 (mod 6)  и числовой  ветви  (  - 1) :  L_(-1)   Ξ  -1 ( mod 6);  мы назвали 1 –ым вспомогательным  числовым рядом.
      Необходимо  отметить, что одному и тому же числовому значению  N  соответствуют  в двух ветвях  разные числовые значения  L.

      Например,  N = 4;  в ветви (+1)  L_(+1) =  6× 4 + 1 = 25;
                                      в ветви (- 1)  L_(-1)  =  6 × 4 – 1 = 23.     
       Числа остальных классов мы не рассматриваем, так как в их составе  непременно  присутствует  хотя бы один из сомножителей: 2 , 3 , 6. 

               §  2.  СОСТАВЛЕНИЕ    ТАБЛИЦ,    ВКЛЮЧАЮЩИХ НОМЕРА
                 ВСЕХ НЕПРОСТЫХ ЧИСЕЛ   1- ого  ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО
                                         ЧИСЛОВОГО  РЯДА.  
         
          Чтобы систематизировать все непростые числа 1-ого  вспомогательного числового ряда, составлены 4 таблицы. Для компактности в таблицы мы вносим не сами числа L ,  а их номера    N.  При необходимости, зная  N, можем по формулам  [1],  [ 2]  вычислить  L. И наоборот,  по заданному L можем  вычислить его номер N.  Все таблицы составлены по принципу таблиц Пифагора.
          Рассмотрим характеристики , общие  для всех таблиц.
           В нулевой строке каждой таблицы  нумеруем столбцы:  1, 2, 3, 4,…
           В  нулевом  столбце каждой таблицы нумеруем строки: 1, 2, 3, 4…

                                                                                     Образец     таблицы

y | 1   1 | 2  2 | 3   3 | 4  4 | …… | y_i
х | | | | | |
1 | | | | | |
2 | | | | | |
3 | | | | | |
4 | | | | | |
…… | | | | | 1 |
x_i | | | | | | N_i

     Нулевые строку и столбец  каждой таблицы примем за оси координат, обозначив их  y  и  x.  Номера строк и столбцов, расположенные на осях координат,  являются:
1)	номерами всех чисел 1-ого  вспомогательного числового ряда;
2)	координатами  y , x расположенных в таблице номеров N  
    непростых  чисел  L  1-ого  вспомогательного числового ряда;
(координаты номеров N  можно считать и координатами  чисел  L.)
     Числа  , номера   которых  находятся  на  оси  x  назовем числами  X.
              Числа,   номера  которых   находятся на оси   y   назовем числами Y.    Возмем  в любой  клетке  таблицы  номер   N_i   числа  L_i.   Координатами  номера      N _i( и  числа  L_i )  являются  x_i, y_i. В то же время  x_i  есть номер  числа X_i ,  а  y_i  есть     номер     Y_i.   Число    L_i   является  произведением    X_i       и  Y_i   .   Запишем это в формализованном  виде :
                                                
                                 L_i =  X _i У_i ,  где  Х_i = 6 x_i ±   1; У_i  = 6 у _i± 1            [ 3 ]
                                 L_i = 6  N_i  ± 1. 
     
 N _i внесен в таблицу. (см.образец таблицы)
      Цветом в таблицах  выделены клетки, для  которых  x = y.  Эти клетки составляют    главную  нисходящую диагональ  каждой  таблицы. Она берет начало от  x = y = 1  и длится до    ∞.  Кроме   главной  нисходящей  диагонали   рассматриваем : нисходящие диагонали, для каждой из клеток которых  разность координат ( y -  x)  постоянна ( для главной  нисходящей диагонали y - x = 0 ).
 
        восходящие диагонали,  для каждой из клеток  которых  сумма  координат  ( x + y )  - постоянна.   
Пронумеруем  диагонали. Номером нисходящей  диагонали является  разность  ( y – x ),  при x = 1 .  (Например,  x = 1 , y = 2 ,  номер диагонали 1. ( см. чертеж .))  Если номер  нисходящей диагонали  четное число, то диагональ   называем  четной;  если  же номер  нисходящей  диагонали нечетное число , диагональ   называем  нечетной .  Номер  главной  нисходящей диагонали  0. 
    Номером восходящей диагонали  является сумма   ( x + y )  ,  при  y = 1.(Например ,  x = 4 ,  y  =1 , номер диагонали  5 ( см. чертеж )). Восходящие диагонали, как и нисходящие делим  на четные и нечетные,  в зависимости от их номеров.  
Следует отметить, что в клетках четных диагоналей, как восходящих, так  и нисходящих, находятся  четные номера   N , а в клетках нечетных – нечетные ( см. табл 1,2,3,4)  
Следует отметить, что таблицы содержащие числа первого вспомогательного числового ряда дополнительно обозначаются буквами. Таких таблиц 4 – ре. Это связано с тем, что на эти таблицы в предлагаемой работе производятся постоянные ссылки  при рассмотрении других таблиц. Поэтому возникает необходимость обеспечивать отличие этих таблиц от других таблиц предлагаемой работы.
Каждый буквенный символ,(то-есть A,B,C  или D) обозначающий конкретную таблицу с числами первого вспомогательного числового ряда, идентичен числовому символу, используемому как индекс, указывающий на принадлежность величины, упоминающейся в тексте, к таблице с соответствующим буквенным символом  (например: L_1 -число из таблицы 1(A); N_3  - номер числа из таблицы 3(C) и так делее)       
    Ветвь ( + 1)  1-ого  вспомогательного числового  ряда:

    Переходим к заполнению таблиц.   Подробно остановимся на таблице  1 (А).
                                           
                                            1 , 7 , 13, 19 , 25 , 31,  37, 43, 49, 55 , 61….                          

        При  L = 7;    N = 1;
               L = 13;   N = 2;
               L =  19;   N = 3   и так далее  по формуле   [1]                                            

       В  каждую  клетку этой таблицы мы вносим номера    N_1 чисел  L _1,  являющихся произведениями:      

              L_1  = X_1  Y_1  =( 6 x + 1 )( 6 y + 1) =   36  x y  + 6x  + 6y  + 1 =
                   =    6 ( 6 xy + x + y )  + 1                                                         [ 3-1]

        Сомножители X_1  и  Y_1  принадлежат ветви (+ 1).        Мы  видим ,  что   число  L_1 принадлежит ветви ( +1 )   , его  номер       N_1 =  6 xy + (x + y)  мы вносим в таблицу. Например:
       при    x = 1;  y = 1; L_1 =  (61  + 1) (61 + 1 ) = 49 = 6 8 + 1, 
       где N_1 = 8,       вносим его в соответствующую клетку таблицы;
       при x =2;      y = 4;    L_1 = (6 2 + 1) (6 4 +1)  = 325 = 654 + 1, 
       где N_1 = 54 и так далее   (см. таблицу А). 

                                                            (+1)                          таблица  1 (А)

(+1)

у
х

1

2

3

4

| 1 | 8 | 15 | 22 | 29
| 2 | 15 | 28 | 41 | 54
| 3 | 22 | 41 | 60 | 79
| 4 | 29 | 54 | 29 | 104

Таким образом  можем заполнить все клетки таблицы; Знак (+1) перед осями координат  показывает, что сомножители Х_1 _, У_1 - принадлежат ветви  (+ 1) .
         Итак , число  L_1, номер которого N_1  находится в таблице  1(А) можно представить в виде:  
               L_1 = 6 ( 6xy  + x + y) + 1, где N_1 = 6 xy +  ( x + y ).

         Для дальнейшего анализа выразим число L_1 в виде разности точных квадратов. Причем основания точных квадратов выразим через x,у  ( координаты числа L_1 ). При изучении  данных таблицы 1, видна определенная закономерность, которой подчинены числа, номера которых расположены в одной диагонали (восходящей и нисходящей). 
        Эта закономерность может быть выражена формулой :

            [3 ( x + y) + 1]^2 - [3 ( y – x)]^2 = 36 xy + 6 x + 6y + 1 =
                                         = 6(6xy + x + y) +1=   L_1   .                              [4]                                                                                 

Как видим, в формализованных  выражениях оснований точных квадратов присутствуют номера диагоналей ( y + x); ( y - x);  восходящих и нисходящих.
           Для таблицы А  справедливы формулы [3-1] и [4].
           Для каждой таблицы получаем подобные формулы аналогично.
           Итак, в таблицу А входят номера чисел ветви (+1) 1-ого вспомогательного числового ряда, являющихся произведениями вида:
                                             
                                 X_1 Y_1 = ( 6x +1)( 6y + 1),

то-есть оба  сомножителя также принадлежат ветви (+1).
           Теперь рассмотрим случай, когда сомножители X и Y  принадлежат ветви  (-1)  ;

          L_2  = Х _2 У _2 =( 6x-1)(6y-1)= 36 xy- 6x –6y +1 = 6 ( 6xy –x-y) +1       [ 3-2 ]

             Мы видим, что число  L_2  принадлежит ветви (+ 1), его номер равен :

                                 N_2 = 6xy  - x  - y   
.
На основании формулы (3-2)  составляем  таблицу 2(В). Знаки перед осями координат показывают, к какой ветви (+ 1) или ( -1 )  принадлежат сомножители   Х, У   в каждой  таблице.

                                                                                                таблица  2 (В)
                                                          (-1)
(-1) | у х | 1 | 2 | 3 | 4
| 1 | 4 | 9 | 14 | 19
| 2 | 9 | 20 | 31 | 42
| 3 | 14 | 31 | 48 | 65
| 4 | 19 | 42 | 65 | 88
                                                      
Таблицы  А и  В  охватывают  номера   всех  чисел ветви  (+ 1)    1 – ого  вспомогательного числового ряда,  кроме  простых.
Для    систематизации    чисел ветви ( -1)     мы составили таблицы 3 (С) и  4 (D)   по аналогии с таблицами 1 (А) и  2 (В).
           Для таблицы  С: Х_3 = 6 х  + 1;  ветвь  (+1 )   
                                          У_3 = 6 у  –  1;  ветвь   ( -1 ) 
L _3 = X _3 У _3  = ( 6 х + 1 ) ( 6 у – 1 ) = 36 ху – 6 х  + 6у  -1  = 6 ( 6 ху –х  + у ) – 1.Ветвь (-1) . 
                                 N_3  = 6 ху –х + у . мы вносим в таблицу  С.
 Для таблицы D:
                                           Х_4  =  6 х  –  1 ;   ветвь ( -1 ) 
                                           У _4 =  6 у  +  1  ; ветвь ( + 1) 
          
                               L_4 = Х _4 У_4 =  ( 6 х – 1 ) ( 6у + 1 )  = 36 ху + 6 х – 6 у – 1 = 
                                                =      6 ( 6 ху  +6 х  - у )– 1, ветвь (-1).

                               N _4 =  6 ху + х- у ,    мы вносим в таблицу  D 
                                                                                  
                                                                                                таблица 3 (С)
                                                       (-1)

(+1)

у
х

1

2

3

4

| 1 | 6 | 11 | 16 | 21
| 2 | 13 | 24 | 35 | 46
| 3 | 20 | 37 | 54 | 71
| 4 | 27 | 50 | 73 | 96

                                                                                                таблица 4 (D)
                                                             (+1)

(-1)

у
х

1

2

3

4

| -1 | 6 | 13 | 20 | 27
| -2 | 11 | 24 | 37 | 50
| -3 | 16 | 35 | 54 | 73
| -4 | 21 | 46 | 71 | 96
     
  Таблицы    С  и    D   охватывают   номера    всех   чисел   ветви     ( -1)  1-ого вспомогательного    числового  ряда, кроме простых. 
       В   таблицах А  и   В   главная   нисходящая    диагональ   является осью симметрии.  В таблице  С   правая   верхняя   часть ( относительно    главной нисходящей диагонали)  идентична  левой   нижней  части  таблицы D и наоборот. То-есть  таблицы  С и   D  друг друга дублируют. Мы будем работать с верхними правыми частями, включая главную нисходящую диагональ, всех  4-х  таблиц, так как они охватывают все числа 1-ого вспомогательного числового  ряда.  Это  позволит  нам  выполнить условие y  ≥   x, принятое для формализованных  выражений
            
                     § 3.   ФОРМАЛИЗОВАННОЕ  ВЫРАЖЕНИЕ   ТАБЛИЦ.
  
   Итак, мы составили 4 таблицы, которые охватывают все числа  1-ого вспомогательного числового ряда ,  кроме простых.  Если  мы установим, что некое число   L   1-ого    вспомогательного числового ряда  не принадлежит ни  одной из таблиц,  мы, можем утверждать   что это число простое.
     Так как все данные таблиц были получены  нами на основании   формул,  и сами таблицы  могут быть представлены в формализованном виде. То есть,  любое интересующее нас сведение по любой из таблиц может быть рассчитано по соответствующей формуле.
     Представим формализованное выражение  всех 4-х таблиц в следующем порядке, с комментариями.
     
  ОБРАЗЕЦ  1
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА
                              (Таблица 5)
Tаблица 1(А) | Таблица  2(В)
Таблица   3(С) | Таблица 4(D)

 Если таблица в предлагаемой работе обозначена как Сводная, это означает, что она объединяет все четыре таблицы, в которых сосредоточены все числа первого вспомогательного числового ряда, кроме простых. То есть, дается   информация по всем  вариантам, которые могут иметь место для чисел первого вспомогательного числового ряда.               

 СВОДНАЯ  ТАБЛИЦА   1  .  Формулы сомножителей, образующих число  L.
                                                     (  mod  = 6 ) .                                                    (Таблица 6)

Х_1  =  6 х  + 1
          У_1 =  6у   +  1

Х_2  =  6 х – 1
           У_2   =  6у  – 1

Х_3 =  6 х  – 1     
           У_3 =  6 у  + 1

Х_4  =  6 х  + 1
            У_4   =  6 у  – 1

    СВОДНАЯ ТАБЛИЦА   2  .    Формализованное выражение числа   L  через
                                                        координаты  х   ;  у .(  mod  = 6 )                  (Таблица 7)

L_1  = 36 ху + 6 х  + 6 у  + 1=
      =  6(6 ху  + х  + у)   + 1

L_2  =  36 ху –  6 х –  6у  + 1  = 
      =   6 ( 6 ху –х  –  у  )  + 1

L_3  =   36 ху + 6 х – 6 у – 1 =  
      =   6 ( 6 ху + х – у ) –  1

L_4  =   36 ху  - 6 х + 6 у –  1  =   
     =    6 (  6 х у –х  + у ) – 1

Числа  имеющие  одинаковые   координаты  х, у,  но  принадлежащие  различным 
таблицам ,  мы  назвали  сопоставимыми.  Различаем  числа   горизонтально сопо-
ставимые ( числа таблиц А и В, числа таблиц С и D); вертикально сопоставимые 
( числа  таблиц   A  и  C, числа   таблиц   B   и    D  ) ; диагонально сопоставимые 
( числа     таблиц  A  и   D,    числа   таблиц   B  и   C   ) ;  попарно сопоставимые  -
-  ( числа  из  любых  двух  таблиц ).                                             

         СВОДНАЯ ТАБЛИЦА  3.    Формализованное выражение  номера  N  через 
                                                          его координаты  (  mod   = 6 )                     (Таблица 8)

N_1  =  6 ху  +  х  +  у  = 
         =     6 ху + ( х + у ).
N _1 Ξ + ( х + у ) Ξ  r ( mod  6 )

N_2  =  6 ху  - х  -  у  = 
        = 6 ху  -  ( х + у ).
 N_2  Ξ- ( х + у ) Ξ  -r  ( mod  6)

N _3 =  6 ху  + х – у   = 
      =   6 ху – ( у – х ) 
N_3  Ξ  - ( у – х )  Ξ - r ( mod 6 )

N_4    = 6 ху  - х + у   = 
        =  6 ху  + ( у – х ).
  N_4  Ξ+ ( у – х ) Ξ   r ( mod 6 )

Выражения   ( х + у )  и  ( у – х ), которые присутствуют в качестве слагаемых  в формулах N ,  назовем основными  корректирующими  величинами  Q  и q.
         Для таблиц А  и В : Q_1,2 – это ( х + у ), номер восходящей диагонали,  в которой расположено число  L;  для таблиц С  и D  q _3,4  - это ( у – х), номер  нисходящей диагонали,  в  которой  расположено  число  L.. 
       Корректирующие   величины  сравнимы   по  модулю   6  с  N_1,2,3,4 ;  другими   словами  Q   (или  q) принадлежит к тому же классу чисел   ( классу вычетов ) по mod 6 , что и  N . Теперь, анализируя данное труднораспознаваемое число  L , определяем  ветвь ( + 1 ) или ( -1 ), к которой оно принадлежит, и вычисляем его номер N. Делим N на mod 6, и, по получившемуся остатку, определяем класс чисел,  к которому принадлежит основная корректирующая величина. 
        Причем, если N Ξ  Q (или q)  Ξ   r ( mod 6 ) ( см.табл A и D ) –рассматриваем остаток  от деления Ν  на 6; а если  Ν  Ξ  - Q (или q) Ξ  – г (mod 6 ) ( см.табл. B и C );  рассматриваем приращение к Ν  для делимости на 6 без остатка.
           Например  L = 62521; ветвь ( + 1) N =10420.
L может принадлежать таблице А или В, или ни одной из них.
     Если мы предполагаем, что L находится в таблице  1(А):
                  N = 10420 = 6×1736 + 4; остаток: г = 4, это значит, что и Q , (для табл.  1: 
                 Q_1  =  (х +  у)  при делении на 6 дает остаток 4. 
      Q_1 принадлежит к классу чисел 4 по mod 6:  Q_1  = 6 × k  + 4;
     Если же мы предположим, что L  находится в таблице B, тогда N  представляем как:
        10420 = 6× 1737 –2, В этом случае – r = -2 ,то есть –(х+у) Ξ –2 (mod 6 )  или, по свойствам  сравнений: (х + у)  Ξ 2 ( mod 6 ). Q_2 принадлежит к классу чисел 2 по mod 6:            
                                         Q_2 = 6 k   + 2;
     Вообще, фактическое значение основной корректирующей величины  можно выразить формулами: 
                                       Q _факт = 6  k  + r _6;                                                      [ 5 ]
                                        q_факт   _= 6  k  + r _6; 
 где:   r_6 – класс чисел  по  mod 6,  k    - порядковый номер, переменная.
 Зная r _6, можем построить числовой ряд возможных значений корректирующейх величины с шагом равным 6 – ти ( по формуле 5). А на основе этих значений – построить числовые ряды возможных координат числа, произведений координат и так далее,  а также составлять квадратные уравнения.
Использование конкретного возможного значения основной корректирующей величины для получения интересующих нас  сведений мы именуем просчетом.
Различаем  промежуточные и заключительный просчеты.

 Это первая часть «Методики делимости…» 
Эту часть не следует считать как бы алгоритмом для программы.
Но чтобы понять суть работы, принципы, на которых возникла возможность составления алгоритма, и, конечно, той части работы, которая выполнена в таблицах Эксель,  она необходима.  
Спрашивайте? Чтобы оказаться в теме.
И, если вы призабыли, просмотрите решение Диофантовых уравнений. 
Если Вы пойдете дальше, то ознакомитесь с альтернативным методом решения квадратных уравнений данного вида, который авторам в литературе не встречался.
Чтобы заинтересовать Вас, скажу, что альтернативный способ решения позволяет определять количество просчетов,  необходимое для нахождения приращений, позволяющих представлять Диофантовые уравнения в приведенном виде.